Factorización: un camino muy largo


El tema de factorización en la educación básica puede considerarse como uno de los conceptos matemáticos más complicados de aprender. Esto se debe a que el tema de factorización involucra muchos conceptos previos como la noción de variable, operaciones entre expresiones algebraicas, productos notables, raíz racional de un polinomio entre otros.

Escribo este post ya que en mi experiencia como docente son pocos los alumnos que dominan este tema de álgebra, que es de suma importancia especialmente en el estudio de la teoría de ecuaciones.

A modo de ejemplo, vamos a resolver los siguientes ejercicios:

1. Factorizar: P_{(x,y)}=xy^2+x^2y

Resolución:

Este ejercicios es el más sencillo de explicar, ya que para su comprensión solamente se necesita la noción de multiplicación de expresiones algebraicas.

Veamos, es fácil ver que el polinomio P_{(x,y)} se puede escribir de la siguiente manera P_{(x,y)}=xyy+xxy de donde es evidente que los factores repetidos son x e y. Finalmente estos factores repetidos se pueden extraer de la multiplicación indicada, lo que nos ofrece el siguiente polinomio factorizado:

P_{(x,y)}=xy(y+x)

2. Factorizar: Q_{(x,y)}=x^4+2x^2y^2+y^4-1

Resolución:

Para enfrentar este ejercicio, lo primero que debemos notar es que hay un trinomio que es originado del cuadrado de un binomio, esto es x^4+2x^2y^2+y^4 = (x^2+y^2)^2. Luego, si realizamos el cambio podemos ver que el polinomio Q_{(x,y)} equivale a:

Q_{(x,y)}=x^4+2x^2y^2+y^4-1=(x^2+y^2)^2-1

Asimismo, de esto último, si recordamos el producto notable denominado diferencia de cuadrados, podemos facilmente escribir su equivalente:

Q_{(x,y)}=(x^2+y^2)^2-1=(x^2+y^2)^2-1^2=(x^2+y^2+1)(x^2+y^2-1)

Luego, el polinomio Q_{(x,y)} factorizado será:

Q_{(x,y)}=(x^2+y^2+1)(x^2+y^2-1)

3. Factorizar: P_{(x)}=(x+1)^4+(x+2)^3+(x+3)^2-7x-12

Resolución:

Este ejercicio es mucho más complejo que los anteriores. Inicialmente, lo más recomendable es que NO se debe desarrollar las potencias indicadas inmediatamente. Aquí entra en juego una estrategia muy útil en la resolución de problemas: el cambio de variable.

Así, si realizamos la siguiente sustitución x+1=a, el polinomio se reduce a:

a^4+(a+1)^3+(a+2)^2-7a-5

Con lo que nos facilitamos el trabajo a la hora de factorizar. Ahora Sí desarrollamos las potencias:

a^4+(a+1)^3+(a+2)^2-7a-5=a^4+a^3+4a^2

Luego, la factorización se realiza en forma directa:

a^4+a^3+4a^2=a^2(a^2+a+4)

Sustituyendo la variable original

P_{(x)}= (x+1)^2(x^2+3x+6)

Como vemos,  el tema de factorización involucra diversos conceptos matemáticos que el alumno necesita aprender si queremos que siga avanzando en el camino de álgebra, específicamente.

Sería interesante si algunos de ustedes compartiera los problemas que encuentran a la hora de enseñar este tema.

A modo de práctica les dejo los siguientes ejercicios, si la factorización no es posible indicar la justificación

1.  Factorizar

x^5-x^4-1

2. Factorizar:

x^4+x^2+1

3. Factorizar en \mathbb{Z}_{[x]}:

x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1

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  1. #1 por jose el noviembre 4, 2010 - 6:08 pm

    hola:
    mirando el polinomio anterior:
    me gustaria saber como de -7x -12 = -7(a-1) – 12 = -7a – 5 mientras que a ud. le da -4a – 5.
    gracias por explicarme como el -7x queda en -4x. gracias.

    • #2 por Carlos el noviembre 5, 2010 - 12:53 pm

      Hola, el cambio de variable ser realiza de la siguiente forma:

      el polinomioP_{(x)}=(x+1)^4+(x+2)^3+(x+3)^2-7x-12 equivale a:
      P_{(x)}=(x+1)^4+(x+2)^3+(x+3)^2-7(x+1)-5.

      Ahora realizamos el cambio de variable x+1=a

      a^4+(a+1)^3+(a+2)^2-7a-5

      Saludos.

  2. #3 por Carlos el noviembre 5, 2010 - 1:10 pm

    Ya corregí el error de tipeo. Muchas gracias.

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