Método ac para factorizar trinomios sobre Z


Este pequeño post es mi aporte para la 2da edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Juan de Mairena [v.2.71828].

Método ac para factorizar trinomios sobre Z

El método ac que pasaré a explicar lo encontré en un blog en inglés (no recuerdo el enlace en este momento). La idea de este método consiste en trabajar con los coeficientes del trinomio para factorizarlo sobre \mathbb{Z}.

Sea ax^2+bx+c \in \mathbb{Z}_{[x]}. Tomamos como ejemplo el siguiente trinomio : P_(x)=6x^2+13x+6 y procedemos a factorizarlo de la siguiente manera:

Paso 1. Encontrar un par de factores ac=(6)(6)=36 cuya suma sea b=13. Podemos tomar el par 9 y 4, ya que verifica las condiciones: (9)(4)=36 y 9+4=13.

Paso 2. Reescribir el término lineal 13x como 9x+4x (debemos trabajar en este orden). Entonces P_(x)=6x^2+13x+6=6x^2+9x+4x+6

Paso 3. Agrupar los pares de términos para factorizar el binomio en común. En este caso 3x(2x+3) + 2(2x+3).

Paso 4. Factorizar el binomio en común. En el ejemplo: (2x+3)(3x+2).

Paso 5. Comprobar la factorización utilizando distribución. En el ejemplo, es claro que (2x+3)(3x+2)=6x^2+13x+6

Demostración del método:

Supongamos que:

ax^2+bx+c=(px+n)(qx+n) donde operando convenientemente obtenemos (px+n)(qx+n) = pqx^2+(pm+qn)x + nm.

Notar que el coeficiente de x consiste en la suma de dos términos (pm y qn). Estos dos números son llamados n y k, donde:

pm=h, qn=k

Ahora, observamos que h y k suman el coeficiente de x que es llamado b, entonces afirmamos:

h+k=b

Es evidente que h y k son los factores de su propio producto pmqn, pero si pq=a y mn=c entonces (pm)(qn)=(pq)(nm); lo que equivale a:

hk=ac

\blacksquare


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  1. #1 por JuanPablo el marzo 14, 2010 - 4:05 pm

    Link agregado!

  2. #2 por Ellisto el marzo 2, 2012 - 1:20 pm

    Muy interesante. He tenido que tomarme una aspirina después de intentar recordar las matemáticas que aprendí en la universidad.Y la verdad, no ha sido tan desagradable como pensaba.

    Gracias,!

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