Demostración: Tópico sobre teoría de ecuaciones


Hola,

Como algunos bloguers saben, los blogs alojados en wordpress.com pueden hacer uso de \LaTeX para sus post dedicados a matemáticas. Como este blog no está exento de ello, decidí  ir publicando algunos teoremas y problemas interesantes sobre diversos tópicos de matemática,  para el deleite de muchos.

Empiezo de esta manera publicando una demostración de una propiedad que se cumple para las ecuaciones de grado 2. Cualquier error sólo escriban en los comentarios.

Nota: En la columna lateral pueden revisar el enlace para aprender algunos consejos útiles para aprender a escribir en \LaTeX y puedan dejar sus comentarios de manera más ordenada.

Tópico de teoría de ecuaciones:

Sean los polinomios P{(x)} y Q{(x)} de raíces reales o complejas.

P{(x)}=x^2+ax+b

Q{(x)}=x^2+nx+m

entonces se debe cumplir la siguiente relación para tengan una raíz en común:

(b-m)^2=(bn-am)(a-n)

Demostración:

Tesis: Los polinomios poseen raíces reales o complejas.

Hipótesis: Tienen una raíz en común luego se cumple:

(b-m)^2=(bn-am)(a-n)

Considerando x_1 y x_2 raíces de P{(x)}, entonces se cumple que:

P{(x_1)}.P{(x_2)}=0

Asumiendo que x_1 es raíz de Q{(x)}, se cumple que:

Q{(x_1)}.Q{(x_2)}=0

OBS: Recuerda que si a.b=0\leftrightarrow a=0\vee b=0

y en consecuencia:

Q{(x_1)}.Q{(x_2)}=({x_1}^2+n{x_1}+m).({x_2}^2+n{x_2}+m)=0

Operando se obtiene la siguiente relación \alpha:

{x_1}^2{x_2}^2+m({x_1}^2+{x_2}^2)+n{x_1}{x_2}({x_1}+{x_2})+n^2{x_1}{x_2}+nm({x_1}+{x_2})+m^2)

Por otro lado, según las relaciones de Cardano-Vieta para P({x}) resulta:

{x_1}+{x_2}=-a

{x_1}{x_2}=b

{x_1}^2+{x_2}^2=({x_1}+{x_2})^2-2{x_1}{x_2}=a^2-2b

Reemplazando estas relaciones en \alpha resulta:

Q{(x_1)}.Q({x_2})=(b-m)^2+(ma-nb)(a-n))=0

Finalmente la igualdad anterior se puede escribir de la siguiente forma:

(b-m)^2=(bn-am)(a-n)          \blacksquare


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