Archive for category Olimpiadas de matemática

Libro de Álgebra


Estimados amigos,

Ahora un poco desocupado del trabajo escolar, les comento que nuestro amigo Hugo Luyo Sánchez (cuyo blog Mathematicorum y Yo es muy bueno) acaba de presentar su pequeño libro titulado El arte de resolver problemas de matemática: estrategias de solución de problemas de olimpiadas. En esta oportunidad nos presenta diversos problemas sobre álgebra.

 

El estilo de libro es similar a los trabajos que Hugo presenta en su blog, es decir, presenta problemas resueltos y propone otros, tomados de diversas fuentes como:

  • American High School Math Exam (ASHME)
  • American Invitational Math Exam (AIME)
  • USA Mathematical Olympiad (USAMO)
  • American Regions Mathematics League (ARML)
  • William Lowell Putnam Competition

Así también problemas de revistas dedicadas a olimpiadas de matemática como:

  • Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem
  • Mathematical Reflexions
  • KOMAL
  • Quantum
  • Pi Mu Epsilon Journal
  • Kvant

Para más detalles cómo adquirirlo en Lima, ingresen a su blog haciendo clic aquí.

Debo confesar que en nuestro medio los libros dedicados a olimpiadas de matemática se están publicando con mayor regularidad, sin embargo la calidad es diversa.  Espero puedan adquirir el libro y le escriban al autor las sugerencias y/o comentarios al respecto.

Saludos.

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Documentos en el repositorio 21/08/10



En el enlace Asesoría de Álgebra estoy archivando varios documentos que he usado en mis clases. Les aconsejo que estén al tanto, ya que documentos con problemas desarrollados serán subidos muy pronto.

Por el momento les informo que estos son los últimos documentos:

  • Teorema del resto, cocientes notables y divisibilidad
  • Binomio de Newton
  • Radicales
  • Radicación
  • Ecuaciones de primer grado
  • Ecuaciones de segundo grado
  • Operaciones básicas
  • Separata de repaso

Casi todos los documentos del repositorio están sirviendo para la preparación de jóvenes para rendir los diferentes exámenes de admisión a las mejores universidades de Perú.

Los ejercicios planteados son de diversas academias de Lima, pero también he agregado ejercicios de mi autoría.

Cualquier error en el tipeo de los documentos me lo informan.

Saludos.


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Documentos en el repositorio 26/07/10


Como ya mencioné hace semanas, en el enlace Asesoría de Álgebra estoy archivando varios documentos que he usado en mis clases. Les aconsejo que estén al tanto, ya que documentos con problemas desarrollados serán subidos muy pronto.

Por el momento les informo que estos son los últimos documentos:

Así como listas de ejercicios de diversos temas.

Cualquier error en el tipeo de los documentos me lo informan.

Saludos.


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Documentos de mis clases


Para todos los interesados, he creado un repositorio para alojar mis notas de clase, así como artículos que creo importante para la preparación preuniversitaria.

Pueden acceder al site haciendo clic en el siguiente logo que está ubicado en la parte lateral de este blog.

Saludos.

Asesoría de álgebra


Descarga materiales sobre álgebra y matemática en general.


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Lo mejor de esta semana!!


Lo mejor de esta semana se llama CAMPEONES. A esta hora, muchos blogs ya han publicado la noticia. Este año tambíen nuestros estudiantes nos trajeron medallas de la Olimpiada Internacional de Matemática (IMO) realizada en Kazajistán.

El detalle de la participación del equipo peruano lo pueden encontrar en el blog de Jorge Tipe y en el blog Selectivos, muy recomendable la suscripción de estos blogs.

En esta oportunidad sólo publico los nombres de los estudiantes olímpicos que participaron en esta 51 edicición de la IMO.

  1. Raúl Chávez Sarmiento                 Medalla de plata
  2. José García Sulca                             Medalla de oro
  3. Omar Loyola Bartra                        Medalla de plata
  4. Gianmarco Gutierrez Taipe         Mención honrosa
  5. Jesús Figueroa Curo                       Medalla de plata
  6. Josué García Piscoya                      Medalla de bronce

Felicitaciones a estos campeones.


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Problemas y revistas de olimpiadas de matemática


Lo que transcribo a continución es una charla (antigua) que dictó Francisco Bellot Rosado, un personaje muy conocido en el mundo de las olimpiadas de matemática.

La fuente no lo tengo, así que no insistan…

SOBRE PROBLEMAS DE OLIMPIADAS Y REVISTAS DE MATEMÁTICAS

Francisco Bellot Rosado

Catedrático del I.E.S. “Emilio Ferrari”

Vocal de la Junta de Gobierno de la R.S.M.E.

Excma. Sra. Vicerrectora, autoridades académicas, señoras y señores :

En primer lugar quiero agradecer al Prof. Delgado de la Mata, Delegado de la Real Sociedad Matemática Española para la Olimpiada en el Distrito de Valladolid, el que me haya dado la oportunidad de dirigirme a todos ustedes en este Acto de entrega de Premios de la 1ª Fase de la Trigésimo octava Olimpiada Matemática Española, en su edición del año 2002. Y confío en que, como la disertación tiene que ser breve, no se reproducirá la situación descrita en un célebre problema de Murray Klamkin :

Durante una “interesante” conferencia, cada uno de cinco matemáticos se duerme exactamente dos veces. Para cada par de matemáticos, hay algún momento en el cual están durmiendo simultáneamente. Demostrar, que, en algún momento de la conferencia, tres de los matemáticos están durmiendo al mismo tiempo.

Creo que resultan bastante difíciles de explicar las razones por las que uno se aficiona a intentar resolver problemas de matemáticas. Pero es un hecho que tal afición existe, y buena prueba de ello son los jóvenes estudiantes que hoy están aquí, con sus familias en algunos casos, esperando a que se descubran los nombres de los ganadores de la Olimpiada de este año. Con tener importancia ganar, lo verdaderamente importante es lo que se aprende al prepararse para la Olimpiada, lo que se aprende al intentar resolver un problema, incluso aunque no se llegue a completar la solución. Un destacado matemático inglés del primer tercio del siglo XX, Geoffrey Hardy, decía que la única forma de aprender matemáticas era resolver diez problemas todos los días de la semana,… y veinte los domingos.

¿Cómo se sabe si un problema de Olimpiadas es bueno? El Jefe de la Delegación de Alemania en la Olimpiada Matemática Internacional durante muchos años, el Prof. Arthur Engel, decía que un buen problema es aquél frente al cual un profesor experto no tiene, necesariamente, ventaja ante un estudiante. En el año 2000, en la Olimpiada Internacional , celebrada en Corea del Sur, se propuso el siguiente, que me parece del tipo señalado por Engel:

Un mago tiene 100 cartas, numeradas del 1 al 100. Las reparte en tres cajas, una roja, una blanca y la tercera azul, de tal manera que cada caja contiene, al menos, una carta. Dos modos de repartir las cartas se considerarán diferentes si al menos una carta está situada en cajas distintas, en uno y otro.

Un espectador, sin ser visto por el mago, elige dos de las tres cajas, saca una carta de cada una y anuncia en voz alta la suma de los números que había en las cartas extraídas. Conociendo esta suma, el mago debe identificar la caja de la que no se ha sacado carta.

¿De cuántas maneras puede el mago repartir las cartas en las cajas, para que consiga acertar siempre?

Aunque, como es obvio, no es cosa en este momento de entrar en los detalles, si diré que la respuesta al problema es doce.

Uno de mis problemas favoritos es el siguiente, que fue propuesto por Bulgaria para la Olimpiada Internacional de 1991, pero que no resultó elegido por el Jurado Internacional :

Dos estudiantes, A y B juegan de la siguiente manera: cada uno de ellos escribe en un papel un número entero positivo y se lo da al árbitro del juego. Éste escribe en el encerado dos enteros positivos, uno de los cuales es la suma de los números escritos por los dos jugadores. El árbitro pregunta al jugador A : “¿Puedes averiguar el número escrito por el otro jugador?”. Si A contesta “no”, el árbitro le hace la misma pregunta al jugador B : “¿Puedes averiguar el número escrito por el otro jugador?”. Si B contesta “no”, vuelve a hacerle la misma pregunta al jugador A, y la situación se repite…

Se supone que A y B son inteligentes y dicen la verdad.

Demostrar que, en un número finito de etapas, alguno de los dos jugadores contesta “Sí”.

Este es otro ejemplo de los problemas que le gustan a Engel para las Olimpiadas. No requiere ningún extraño tecnicismo para resolverlo, pero es un problema difícil. Además, permite comparar la inteligencia de los participantes sin tener que apelar demasiado a su nivel de información matemática , por lo que un alumno digamos de China, con una preparación exhaustiva para la Olimpiada Internacional, no tiene frente a él ventaja ante otro de, pongamos, Senegal (que no participa en la Olimpiada Internacional). Pero no resultó elegido, y lo más curioso es la razón : un veterano miembro del Jurado argumentó que “sería un problema muy difícil de puntuar, porque cada participante daría una solución distinta”.

Es muy interesante en este problema el hecho de que, cada vez que uno de los jugadores dice “no”, está proporcionando al otro información que le permite ir mejorando las cotas iniciales que tiene sobre el número escrito por su oponente.

Hace más de 50 años, en la revista suiza Elemente der Mathematik, se publicó sin solución, y sin mencionar el nombre del autor, un problema que a mí me llamó poderosamente la atención cuando lo encontré, porque con un enunciado corto albergaba muchas ideas interesantes :

Demostrar que el número x es racional si, y solamente si, de la sucesión cuyos primeros términos son

x, x+1 ,x+2, ….

se pueden extraer tres términos que formen una progresión geométrica.

El problema se propuso aquí en Valladolid en la Fase local de la Olimpiada, hace 12 años, y algunos años más tarde, también en la Olimpiada canadiense. El asunto del “alquiler” de problemas de una Olimpiada a otra podría ser objeto de una charla entera, por lo que dejaremos aquí los enunciados de problemas.

Ya que he mencionado una revista de matemáticas, quisiera, en la parte final de mi intervención, citar algunas otras.

Algunos países tienen una larguísima tradición, a veces más que centenaria, en organizar concursos de problemas de matemáticas para estudiantes de Primaria, Bachillerato y Universidad. Una de las razones que explican esta popularidad es la existencia de revistas de matemáticas para escolares, con un número muy elevado de problemas propuestos y resueltos. Un ejemplo de lo que digo es Rumania, con su Gazeta matemática pentru Tineret (Gaceta matemática para alumnos), fundada en 1895, y que mensualmente propone, por término medio, más de 100 problemas a disposición de los lectores, de todos los niveles educativos de su sistema escolar.

También centenaria es la revista escolar de Hungría, KÖMAL (Közepiskolai matematikai Lapók), igualmente con un elevadísimo número de problemas y artículos, de matemáticas y de Física, asequibles para los estudiantes. Esta revista tiene una página web con los enunciados de los problemas en inglés.

Brasil tiene, desde hace poco tiempo, una excelente revista de Olimpiadas, que lleva por título Eureka, y cuyos primeros 12 números se pueden descargar del sitio de Internet de la Sociedad Brasileña de Matemáticas. Obviamente su idioma es el portugués, que debería, en mi opinión, ser mucho más próximo para los españoles de lo que es en realidad.

Hasta hace muy poco tiempo, la famosa revista rusa de Matemáticas y Física, KVANT, enormemente popular allí, tenía una versión en inglés, QUANTUM, que lamentablemente ha dejado de publicarse el año pasado.

En este breve recorrido por las revistas de matemáticas con problemas de Olimpiadas no podía faltar la que, para mí, es la mejor de todas: la canadiense CRUX MATHEMATICORUM , cuyo nombre, como saben los latinistas, significa “un problema para los matemáticos”. Además de las secciones fijas de Olimpiadas de diversos niveles, CRUZ publica problemas de nivel más elevado, y en su nómina de proponentes de problemas aparecen nombres tan prestigiosos como Murray Klamkin, el chino-canadiense Andy Liu, el octogenario Toshio Seimiya, que es un fantástico especialista en ocultar la incógnita en los problemas de Geometría. En un problema de Seimiya, uno descubre multitud de resultados que se verifican en la situación geométrica (por lo general muy rica) de que se trate, …. pero dar con la clave que permita llegar al final puede ser un proceso que dure semanas…o meses. Y lo curioso es que, cuando uno ve la solución publicada , piensa : “¿Cómo no se me habría ocurrido esto…?”. También en CRUX aparecen nombres españoles, como Jordi Dou, Miguel Amengual, Joaquín Gómez Rey o Juan Bosco Romero Márquez.

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Separata asesoría Nº 2


Hola,

En esta oportunidad quisiera compartir con todos ustedes materiales que son recopilaciones de diversos problemas del curso de álgebra para postulantes a universidades. Dichos materiales lo he usado como parte de la aesoría del curso de álgebra que tengo a cargo.

Cualquier error que encuentre esta bajo mi responsabilidad. Al respecto, tienen el cajón de comentarios para cualquier consulta.

PD: Los ejercicios son recopilaciones de diversas academias de Lima que brindan preparación preuniversitaria.

Las respuesta a cada problema está resaltado de color amarillo.

Saludos.


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Método ac para factorizar trinomios sobre Z


Este pequeño post es mi aporte para la 2da edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Juan de Mairena [v.2.71828].

Método ac para factorizar trinomios sobre Z

El método ac que pasaré a explicar lo encontré en un blog en inglés (no recuerdo el enlace en este momento). La idea de este método consiste en trabajar con los coeficientes del trinomio para factorizarlo sobre \mathbb{Z}.

Sea ax^2+bx+c \in \mathbb{Z}_{[x]}. Tomamos como ejemplo el siguiente trinomio : P_(x)=6x^2+13x+6 y procedemos a factorizarlo de la siguiente manera:

Paso 1. Encontrar un par de factores ac=(6)(6)=36 cuya suma sea b=13. Podemos tomar el par 9 y 4, ya que verifica las condiciones: (9)(4)=36 y 9+4=13.

Paso 2. Reescribir el término lineal 13x como 9x+4x (debemos trabajar en este orden). Entonces P_(x)=6x^2+13x+6=6x^2+9x+4x+6

Paso 3. Agrupar los pares de términos para factorizar el binomio en común. En este caso 3x(2x+3) + 2(2x+3).

Paso 4. Factorizar el binomio en común. En el ejemplo: (2x+3)(3x+2).

Paso 5. Comprobar la factorización utilizando distribución. En el ejemplo, es claro que (2x+3)(3x+2)=6x^2+13x+6

Demostración del método:

Supongamos que:

ax^2+bx+c=(px+n)(qx+n) donde operando convenientemente obtenemos (px+n)(qx+n) = pqx^2+(pm+qn)x + nm.

Notar que el coeficiente de x consiste en la suma de dos términos (pm y qn). Estos dos números son llamados n y k, donde:

pm=h, qn=k

Ahora, observamos que h y k suman el coeficiente de x que es llamado b, entonces afirmamos:

h+k=b

Es evidente que h y k son los factores de su propio producto pmqn, pero si pq=a y mn=c entonces (pm)(qn)=(pq)(nm); lo que equivale a:

hk=ac

\blacksquare


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