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¿Cómo escribir la resolución de un problema matemático?

May 24, 2009 Carlos Leave a comment Go to comments

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Para una mejor presentación de nuestras resoluciones de problemas matemáticos, debemos seguir los siguientes consejos:

  1. Diferenciar entre un problema de tipo operativo, demostrativo o aplicativo.
  2. Es importante escribir las definiciones o ecuaciones que nos sugiere el problema en su propia línea.
  3. No acumular demasiado espacio  con la escritura algebraica en un párrafo. Debe saber medir la cantidad de símbolos en cada línea de texto.
  4. Etiquetar las ecuaciones, teoremas, lemas o un resultado importante que nos servirá más adelante. De esa manera, sabremos guiar a nuestro lector.
  5. Recuerde que hay más papel.

Ver el siguiente problema a modo de ejemplo.

Enunciado

Si {a,b,c}\subset \mathbb{R^+}, hallar el mínimo valor entero que puede adoptar:

\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}

Resolución inadecuada:

 

Como {a,b,c}\subset \mathbb{R^+}, entonces utilizando (MA)\ge(MG) (1) , se logra obtener \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3 , donde 3 es el mínimo valor entero.

 

Resolución aceptable:

 

 

Como {a,b,c}\subset \mathbb{R^+}, podemos utilizar la relación (MA)\ge(MG).

Entonces,  tendremos:

\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3}\ge\sqrt[3]{\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{b}{c}\right)\left(\frac{c}{a}\right)}

Luego, operando el radicando, tenemos:

\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3}\ge\sqrt[3]{1}

Finalmente, se logra obtener:

\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3

Donde 3 es el mínimo valor entero.

—–

(1) Para estudiar esta relación, revisen esta página. 

En este caso, no ha sido necesario etiquetar las expresiones matemáticas. Sin embargo, cuando el problema se torna laborioso, la etiqueta ayuda mucho.

Fuente: Artofproblemsolving.

 

 

 


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  1. Jan Nordgreen
    May 25, 2009 at 9:39 am | #1
    Reply | Quote

    Pienso que la expresion >= 3 no implica que su valor minimo es 3.

    Por ejemplo: 7 >= 3 pero no significa que el valor minimo de 7 es 3. :)

    Probablemente entiendo todo mal.

    Saludos desde Tailandia,

    Jan Nordgreen

    • Carlos
      May 26, 2009 at 8:56 pm | #2
      Reply | Quote

      La desigualdad 7\ge3 es válido, cuya prueba se realiza utilizando reglas lógicas, pero el problema pide que hallemos el mínimo valor de \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}, que en este caso es 3.

      No entiendo tu conclusión acerca de que en 7\ge3, 7 adopta un mínimo valor.

  2. Alberto
    May 25, 2009 at 10:21 am | #4
    Reply | Quote

    No comparto la solución de este problema, pienso que la relación MG y MA no es aplicable en todas las relaciones numéricas

    • Carlos
      May 26, 2009 at 8:58 pm | #5
      Reply | Quote

      Alberto,

      La relación MA \ge MG se cumple para los valores reales positivos, esa es la restricción.

  3. Carlos
    May 26, 2009 at 8:59 pm | #6
    Reply | Quote

    En el problema se puede obviar el término “ENTERO”.

  4. Ana
    June 17, 2009 at 7:00 pm | #7
    Reply | Quote

    Yo pienso que los problemas estan bien resueltos.Vengo del colegio ´´SAN RAFAEL´´ queda por San Juan de Lurigancho en Canto Rey.GRACIAS

  5. edson
    July 5, 2009 at 5:03 pm | #8
    Reply | Quote

    una raza especial de conejos se produse de tal manera que cada pareja da lugar a dos machos y dos hembras despues de 20 dias de gestion ¿encuentra cual es la poblacion generada por una pareja despues de 100 dias .suponiendo que cada pareja solo se cruzan una vez.

  6. Jorge Tipe
    August 5, 2009 at 7:24 am | #9
    Reply | Quote

    Hola Carlos, de nuevo visitando tu blog.

    Comparto la opinión de que la solución que propones está incompleta (sería injusto decir incorrecta). En los otros comentarios así lo han notado, pero me parece que no se explicaron bien.

    Si denotamos con f(a,b,c) a la expresión que quieres minimizar, has demostrado que f(a,b,c)\geq 3, para afirmar que el mínimo valor de f(a,b,c) es 3, faltaría decir que es posible que sea igual a 3 haciendo que a=b=c. Es decir, faltó asegurar que la cota inferior que diste es “alcanzable”.

    Para mayor claridad te puedo dar un ejemplo de porqué es necesario hacer esa comprobación, pues hay casos en los que la aplicación directa de la desigualdad MA-MG no te ayuda a encontrar el mínimo.

    Consideremos la función f(x)=2x+\frac{1}{2x^3}+x^2, cuyo dominio es el conjunto de los reales positivos; por la desigualdad de la MA-MG obtenemos que f(x)\geq 3, a pesar de eso no es posible que f(x)=3 (para que esto ocurra tendrìamos que 2x=\frac{1}{2x^3}=x^2, que se puede comprobar que no tiene solución) por lo tanto, a pesar de que f(x)\geq 3 el valor mínimo de f(x) no es 3.

    Saludos.

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