Multiplicación de Números Enteros Utilizando el Plano Cartesiano


En post anteriores hablamos acerca del uso de los bloques de dienes para enseñar intuitivamente a nuestros alumnos una serie de operaciones algebraicas. Entre estas operaciones se encuentra la multiplicación de números enteros. En su momento, el uso de los bloques de dienes resulta una herramienta muy poderosa, porque combina lo concreto con lo práctico. Sin embargo no es la única, existe muchas formas de enseñar a multiplicar números enteros. Una forma es a través de gráficos, y para ser más precisos, una especie de plano cartesiano.

El método intuitivo gráfico que les presento me sorprendió por su sencillez y además porque relaciona la parte numérica con la gráfica. Este método considera varios pasos que son:

1. Trazar dos rectas numéricas que sean perpendiculares y asignamos el cero al punto de intersección. Así lo podemos observar en la figura 1. la distribución para la multiplicación indicada a x b.

A la distribución gráfica de este tipo se le llama sistema de coordenadas cartesianas, donde la recta horizontal se llama abcisas y la vertical ordenadas.

2. Se observa que el primer factor de la multiplicación indicada axb es a, y está ubicado en el eje de las abscisas, mientras que el segundo factor se ubica en el eje de las ordenadas. El par ordenado (0,1) es necesario nombrarlo como un elemento necesario para el trazado de las rectas que harán posible la multiplicación.

3. A continuación vamos a trazar la recta L1 que pasa por el par odenado (0,1)  y por (a,0)  que corresponde al primer factor  que se ubica en el eje de las abscisas, y L2 correspondiente al segundo factor  (0,b) de tal forma que cumpla la condición necesaria que L1 // L2. El punto de intersección de estas nuevas rectas será el producto buscado, como se indica en la figura 2.

Figura 2

Nota: Como a y b son números enteros, entonces puede ocurrir que los dos factores tengan igual signo o signos diferentes. La ubicación en el sistema de coordenadas dependerá de dicho signo para los factores, a si mismo el producto obtenido tomará el signo que le corresponde de acuerdo a su ubicación.

La justificación matemática de este método se basa en la semejanza de triángulos.

Aplicaremos el método para la siguiente multiplicación: -2 x 2

Siguiendo los pasos 1 y 2 tenemos el primer gráfico (figura 3)

Figura 3

A continuación procedemos según el paso 3 y observamos que el producto resultante es-4, lo que coincide a su vez con la ubicación del signo en el eje de las abscisas (Figura 4).

Figura 4

El trazo de L1 y L2 se realiza respetando que se cumpla L1 // L2. La recta L1 necesariamente tiene que pasar por (0,1) a su vez por el primer factor que viene a ser (2,0).

Pueden aplicar este método para multiplicación de números enteros con igual signo o signos contrarios, obtendrán resultados satisfactorios. La demostración de este método, como se mencionó líneas arriba, se basa en la semejanza de triángulos. Veré si tengo tiempo para pasarlo a la web.

Espero le sirva, y si se animan realicen las siguientes multiplicaciones utilizando este método:

  1. Multiplicar -3 x -2
  2. Multiplicar 2 x 4
  3. Multiplciar 3 x 0
  4. Multiplicar 2 x -6

Saludos.


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  1. #1 by Milton Guerrero on July 24, 2007 - 11:43 am

    Francamente, les felicito por esta idea y realizacion.

  2. #2 by Carlos on July 30, 2007 - 4:50 pm

    Gracias.
    Saludos

  3. #3 by Walter byron Pineda Isaza on August 2, 2007 - 6:29 pm

    Hay dos observaciones que debo hacer al respecto puesto que esta informaciòn es pùblica. En el pàrrafo quinto es necesario mencionar el par ordenado (0,1) y no el punto 1 ya que se esta utilizando es plano cartesiano.

    En el sexto pàrrafo hay un error en la redacciòn porque la recta L2 no se traza por el “punto 1″ sino paralela a la recta L1 que pasa por el primer factor (a,0) y por el punto (0,1).

    Espero que este comentario por cierto repetuoso mejore la comprensiòn de esta explicaciòn tan “didàctica” que aunque existe hace mucho tiempo es hora de conocerla por toda la comunida de docentes en matematicas

  4. #4 by Carlos on August 3, 2007 - 8:27 am

    Comparto totalmente tu comentario Walter y gracias por tus observaciones.
    A veces la costumbre de nombrar objetos matemáticos con nombres informales hacen que la explicación sea muy difusa.

    Muchas gracias.

    Saludos cordiales.

  5. #5 by elchaconcito on October 22, 2007 - 11:47 am

    El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
    Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

    1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

    2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
    Ejemplo:

    Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano.

    Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.

    Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.

    la recta de arriba hacia abajo es y y de hizquierda a derecha es x la parte de arriba es positiva y la derecha
    y la parte de abajo y la hizquierda son negativa

  6. #6 by maria isabel moreno ayala on January 16, 2008 - 6:06 pm

    me parece formidable la utilización que aqui brindar para darle al plano cartesio, creo que es de gran utilidad para los maestros ya que permite diversificar las actividades que comunmente se utilizan con el plano cartesiano

  7. #7 by SANDRA MORALES on January 29, 2008 - 8:30 am

    muchas gracias por esta manera tan sencilla como ustedes mismos lo indican de multiplicar enteros y las relaciones con ubicación de puntos en el plano para introducir funciones y la relación con la geometria… es un trabajo interesante de presentar a compañeros y estudiantes.

    nuevamente gracias

  8. #8 by Carlos on January 29, 2008 - 12:00 pm

    Gracias a todos por sus comentarios y sugerencias.

    Saludos.

  9. #9 by angie on March 25, 2008 - 5:51 pm

    quisiera saber la historia de el plano cartesiano! porfavor la necesito urgente!

  10. #10 by Margarita Ceballos on April 23, 2008 - 12:30 pm

    necesito urgente la historia del plano cartesiano

  11. #11 by VSTYDS on May 1, 2008 - 10:27 am

    necesito saber algo urgente, es para mañana: ¿¿¿Que pasa en una multiplicación de números enteros cuando ambos factores son iguales??? necesito saberlo urgente para el lunes, pasenme la respuesta a matias_tutuca@hotmail.com

  12. #12 by Carlos on May 1, 2008 - 5:38 pm

    VSTYDS,

    Si los factores son iguales ocurre que la traza de las rectas paralelas no se ven afectadas. En el caso de 1 x 1 la segunda recta paralela cae en 1. En el caso de 2 x 2 la segunda recta paralela cae en 4. Tienes que diferenciar entre L1 y L2.

    Saludos.

  13. #13 by VANESSA on May 5, 2008 - 10:34 am

    oye mi ra necesito saber algo quees de numeros enteros y planos cartesianos
    me haces un favor como te llamas

  14. #14 by VANESSA on May 5, 2008 - 10:36 am

    NECESITO SABER ALGO DSE NUMEROS ENTEROS Y PLANOS CARTESIANOS
    OTRA PREGUNTICA COMO TE LLA MAS RE SPONDEME

  15. #15 by Carlos on May 5, 2008 - 9:58 pm

    Hola Vanessa,
    ¿Cuál es tu pregunta?

  16. #16 by ritonel vallejp on May 8, 2008 - 6:22 pm

    quiero saber un poco sobre la oportunidad de adicionar los numeros entero

  17. #17 by Lorna on June 7, 2008 - 1:45 pm

    nacecito saber ¿a quien se debe el uso del plano cartesiano?

  18. #18 by andre on June 9, 2008 - 5:22 pm

    plix..
    esto es muy urgente necesito que plix me respondas la antes posible
    ¿a quien se debe el uso del plano cartesiano?
    respondeme lo mas pronto posible a: arestrepo_1995@hotmail.com
    es urgente!!!!!!

  19. #19 by nena on June 16, 2008 - 4:29 pm

    no entiendo el plano cantesiano por favor me explicas que es y=-3+x

  20. #20 by ceiner on June 19, 2008 - 10:00 pm

    es buena esta pagina
    pero algo mas de multiplicacion denumeros enteros ded

  21. #21 by maria fernanda on July 19, 2008 - 3:48 pm

    chebre

  22. #22 by maria fernanda on July 19, 2008 - 3:50 pm

    hola carlos como estas

  23. #23 by natalie on August 31, 2008 - 8:22 pm

    deben decir al pie de la letra ps

  24. #24 by corina on August 31, 2008 - 8:23 pm

    es muy monce

  25. #25 by jhoselin on August 31, 2008 - 9:09 pm

    me aburro no hay mas facil

  26. #26 by kira on August 31, 2008 - 9:12 pm

    a mi me facina muy facil y buenaso

  27. #27 by ndhbfhbf on August 31, 2008 - 9:13 pm

    es feo

  28. #28 by carme on August 31, 2008 - 9:14 pm

    me gusta demaciado

  29. #29 by nayelis on November 3, 2008 - 2:52 pm

    bueno un saludo a todos ok besos

  30. #30 by chris on December 15, 2008 - 3:18 pm

    a rene descartes plano cartesiano

  31. #31 by veriiitooh on January 8, 2009 - 11:32 am

    aprendi mucho :S

  32. #32 by sergio on March 15, 2011 - 8:25 am

    necesitopor favor una raspuesta de una tabla de linea columana multiplicandolo por favor gracias

  33. #33 by sergio on March 15, 2011 - 8:28 am

    producto de un entero negativo con un entero positivo y es una tabla con parejas ordenadas como las del plano

  34. #34 by ChiiKiiTiiK on March 20, 2011 - 9:41 am

    Ayy Pliiss tengo un examen pasado mañana y no entiendo nada de esto me podrias explicar?
    Graxxia! Chauu Saludos!

  35. #35 by yiseth on May 18, 2011 - 5:35 pm

    nesesito saber como se ace un triangula en un plano cartesiano con estas medidas: a A:(5,3), b B:(4,0) c C:(7,3)
    a A:(8,3) b B:(4,4) c C:(4,6).

  36. #36 by isabella on February 28, 2012 - 3:18 pm

    aprendi mucho sobre el plano caresiano

  37. #37 by katherine on April 2, 2013 - 2:08 pm

    esta chebre el plano carteciano sirve para muchs cosas me encanto

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