Demostración geométrica del teorema de Pitágoras y el estudiante peruano


Pitágoras de Samos fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no solo al mismo Pitágoras.

Este teorema es tan famosos que en una entrevista que se realizó en España se evidenció que era el recurso matemático más recordado por cualquier ser humano.

Desde hace tiempo estuve curioseando en diversos libros de historia de las matemáticas y me dí con  la sorpresa que este teorema tiene más de 200 demostraciones halladas hasta el momento. Pero no quiero entrar en discusión sobre cada uno de ellos, es más no las conozco todas, sino deseo mostrarles que antiguamente, antes de la formalización de las matemáticas con Euclides, las conjeturas matemáticas se “demostraban” de maneras inusuales.

Las maneras que se optaba en la antigüedad para comprobar, que es el término más adecuado puesto que  no había una formalización de las matemáticas, fue de aplicar los conocimientos en actividades propias del ser humano. Como ejemplo la siembra, la recolección, etc. Es en la siembra donde los griegos aplicaban sus conocimientos de matemáticas. El teorema de Pitágoras es utilizado también para este fin.

Podemos ver que la matemática o matemáticas, como queramos llamarlo, tiene una verdadera aplicación en la vida diaria. No olvidemos que la matemática nace de la necesidad del hombre para explicarse fenómenos y facilitar su vida. Entonces si desde hace mucho la matemática tiene este sentido, ¿por qué los profesores de matemáticas no lo aplican?. Una de las respuesta a esta interrogante puede ser la ignorancia o dejadéz para no investigar en estos conceptos sencillos y entretenidos, o tal vez sea por la mecánica tradicional que atiborra a nuestros docentes a diario y al no querer innovar en sus metologías y estratégias de enseñanza.

El examen de PISA que se tomó a diferentes países en el año 2000, evidencia este proceso de aplicar las matemáticas a la vidad cotidiana. Las preguntas de ese entonces estaban destinadas a ese norte. Nuestros estudiantes peruanos no salierón bien, y no porque no sepan nada de matemática o porque no tengan la “inteligencia” suficiente para aprenderla, sino que nunca o pocas veces se les ha presentado problemas o situaciones donde se somete el conocimiento a la necesidad. Por ejemplo vease las siguientes preguntas del examen de PISA del 2000.

Tipo de Cambio

Mei-Ling, de Singapur, se estaba preparando para viajar a Sudáfrica durante 3 meses como participante en un intercambio estudiantil. Necesitó cambiar dólares de Singapur (SGD) a rands de Sudáfrica (ZAR).

Tipo de Cambio pregunta 1:
Mei-Ling encontró que el tipo de cambio entre los dólares de Singapur y los rands de Sudáfrica era:

1 SGD = 4.2 ZAR

Mei-Ling cambió 3000 dólares de Singapur a rands sudafricanos a este tipo de cambio.
¿Cuánto dinero en rands sudafricanos recibió Mei-Ling?

A. 12,600
B. 714.28
C. 3,000

Tipo de Cambio pregunta 2:
Al regresar a Singapur después de 3 meses, Mei-Ling tenía 3 900 ZAR. Los cambió de nuevo a dólares de Singapur y se dio cuenta de que había un nuevo tipo de cambio:

1 SGD = 4.0 ZAR

¿Cuánto dinero en dólares de Singapur recibió Mei-Ling?

A. 15,600
B. 928.5
C. 975

Tipo de Cambio pregunta 3:
Durante estos 3 meses, el tipo de cambio pasó de 4.2 a 4.0 ZAR por SGD.
¿Resultó a favor de Mei-Ling que el tipo de cambio actual fuera de 4.0 ZAR en lugar de 4.2 ZAR cuando cambió sus rands sudafricanos a dólares de Singapur?
Explica tu respuesta.

Se supone que el estudiante al cual se le tomará este examen debe conocer las operaciones aritméticas para la solución de estas preguntas. Pero la mayoría las ignora o mejor dicho saben el concepto mas no saben contextualizarlos o aplicarlo en situaciones no formales.

Parece que me he salido del tema inicial, pero creo que vale la pena dar un panorama más amplio sobre este aspecto. Les dejo a continuación el video donde se explica esta demostración geométrica del teorema de Pitágoras.

Fuentes: Wikipedia, Youtube.

Applets sobre la demostración del teorema de pitágoras

Actualización:

Para una mejor ilustración del teorema de Pitágoras les dejo con el siguiente vídeo del prof. Adrián Paenza, cuyo trabajo ya comentamos en otros post de este blog.


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  1. #1 by Carlos on March 4, 2007 - 10:15 am

    Hello, Where are you from?

  2. #2 by yoda on March 24, 2007 - 10:55 pm

    es posible…..??

    Para una demostracion formal es necesario no partir de algo particular, se sabe que existe la inducción aplica de casos particularea a generales, pero no siempre es la mejor ya que siempre puede existir un contraejemplo que deshaga la solución propuesta

    A parte de que esta demostración utiliza el mismo teorema para demostrarlo, nunca es posible demostrar algo a partir de si mismo

    Solicito un poco más de formalidad a la demostración. Ya que la presentada es confusa y una fakacia lógica
    México)))))—->>>>

  3. #3 by Carlos on March 25, 2007 - 12:40 pm

    En primer lugar gracias por su comentario. Paso a responderle:

    El título del post es “Demostración Geométrica”, es decir que presentamos una “demostración” que los antiguos griegos, e incluso mucho antes de ellos, se usaba. Textualmente cito del post “…antes de la formalización de las matemáticas… ”

    En la actualidad se entiende por demostración a un proceso por el cual, mediante una serie de razonamientos lógicos, se llega a establecer la verdad de una proposición o conjetura a partir de cierta hipótesis. Pero esta definición, de las muchas que existe, no se puede aplicar a la coyuntura matemática de los antiguos griegos y babilónios.

    Le sugiero revisar el libro de Carl B. “Historia de la matemática”, que en la página 66 – 67 dice:
    “Hay un cierto número de deficiencias obvias en la matemática prehelénica.Tanto los papiros como las tablillas que han llegado hasta nosotros contienen únicamente problemas concretos y casos especiale, sin ningún tipo de formalización general, [...] La palabra misma ‘demostración’ significó cosas diferentes según las diferentes épocas históricas y los niveles de desarrollo, y por lo tanto no deja de ser arriesgado el afirmar categóricamente que los pueblos prehelénicos no llegaron a elaborar ninguna idea de demostración, ni a sentir necesidad”.

    Saludos.

  4. #4 by Max Vento on June 24, 2007 - 7:55 pm

    No le parece que debede cambiar h^2 = c^2 +c^2 por h^2= a^2 + b^2, la razon es que ud. puso h^2 = c^2 + c^2,pero en su grafico un lado es =4 y el otro =3;la demostracion se comprende pero al ver su grafica y cuando cambia las variables no concuerda. Por favor aclareme este comentario,a lo mejor estoy equivocado.
    Gracias
    Max V.

  5. #5 by Carlos on June 25, 2007 - 11:26 am

    Max

    Tienes razón, lo mejor sería utilizar una variable determinada para cada cateto. supongo que se considera “c” a la simplificación de “cateto”. Sin embargo se debe especificar que los catetos no necesariamente tienen que ser iguales.

    Creo que es un error de escritura y de asignación de variables simplemente, pero que causarían un razonamiento equivocado.

    Gracias por la aclaración.
    Saludos.

  6. #6 by Wendy on July 12, 2007 - 11:37 am

    ps… la verdad me gusto mucho como lo explicaste, pude entender y responderme algunas dudas ke tenia sobre este tema pero por fa necesito ke me ayudes a buscar como solucionar un problema o medir un objeto con este teorema… gracias…

  7. #7 by Carlos on July 15, 2007 - 11:43 am

    Hola Wendy, acerca de medir o aplicar este teorema a un hecho cotidiano, te sugiero visitar esta web: http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelIX/AplicacionesdePitagoras/AplicacionesdePitagoras.htm

    Saludos. :)

  8. #8 by HERMES on September 4, 2007 - 8:19 pm

    hola … esto es un caso muy particular aparte de esto hay una generalizacion para cualquier figura que se forma de los catetos y de la hipotenusa cumpliendose tambien la igualdad al elevar los lados de esta firua al cuadrado .. seria factible para demostrar esto la particion de cuadraditos para su demostracion a la aplicacion de las integrales tomando una diferencial y hacer la sumatoria ??

  9. #9 by Maty on October 12, 2007 - 12:38 am

    Lamento informarle que eso no es una demostración del teorema de Pitágoras, sino de un caso particular del mismo. Le recomiendo ver, si desea una demostración geométrica, la que utilizó Euclides para el mismo. También hay una demostración china, no recuerdo el nombre del autor, que data de antaño muy agradable.

  10. #10 by hussein on October 12, 2007 - 7:39 pm

    Carlos tengo la curiosidad de saber quien eres? supongo que eres un genio de las matematicas yo soy de venezuela me interesa el estudio de las matematicas, y creo que tu eres el propietario de esta paginas, pues si es asi felicitaciones , llegaras muy lejos con la corta edad que tienes.

    quisiera saber si me puedes orientar, tengo dudas de quien es el primer matematico del mundo, ¿si pitagoras o hay otro mas?, porque a veces veo textos con historia de las matematicas que datan antes de pitagoras.
    y quisiera saber cual es la priemera formula matematica. el primer problema.

  11. #11 by Carlos on October 13, 2007 - 1:57 am

    Gracias por sus comentarios.

    Trataré de responder las preguntas de Hermes y Maty.

    Respecto al caso particular del teorema de Pitágoras, que se observa en el vídeo, es la relación muy primitiva encontrada y utilizada antes de la aparicion Pitágoras en la escena matemática. El teorema de Pitágoras empieza a tomar forma con este caso particular y otros más, cuyo caso particular importante es para las medidas 3 y 4 para los catetos y 5 para la hipotenusa.

    Ahora bien, cuando se prueba con casos diversos el resultado suele tener una forma determinada, de lo que se deduce o generaliza el famoso a^2 +b^2 = c^2, que nos otra cosa que la forma general del teorema. El vídeo nos muestra ello. Entonces es aceptable asumirlo como un tipo de demostración geométrica o por construcción.

    Estoy de acuerdo que hay demostraciones geométricas más “elaboradas”, pero creo necesario empezar con aplicación para llegar a concretizar la formalidad de un teorema. Esto nos permitará Invitar a los alumnos al razonamiento, para que deduzcan a su manera la generalidad de las diversas aplicaciones, para luego mostrarles otras formas de demostración como el caso de Euclides o la famosa demostración china encontrada en el libro Zhoubi suanjing (Canon de cómputos gnómicos de la dinastía Zhou).

    En conclusión: El fin de este post que genera diversas opiniones, por las cuales la dinámica del blog cumple su función, es mostrar un caso particular, en primer lugar, para luego generalizar para los catetos a y b e hipotenusa h.

    Si desean conocer más sobre los tipos de demostración, pueden visitar esta web: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras#Demostraci.C3.B3n_de_Plat.C3.B3n:_el_Menon

    Si desean conocer la demostración del teorema de Pitágoras en el libro Los Elementos de Euclides, ingresen a este enlace:

    http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI47.html

    Por último, una demostración geométrica animada:

  12. #12 by Carlos on October 13, 2007 - 2:42 am

    Hussein,

    Gracias por tu comentario. Lamento decirte que no me considero “un genio de las matemáticas”, solo tengo un cariño especial por esta ciencia. Si tu inquietud es por esta ciencia, bienvenido y sigue adelante.

    Tus preguntas son las mismas que muchas personas se hacen constantemente, muy válidas por cierto, pero que no tienen una única respuesta. Desde el cómo surge las matemáticas hasta quién fue el primer matemático, son enigmas que creo no lo podremos saber en el tiempo próximo. Ello porque no tenemos documentos válidos que nos indiquen con precisión las respuestas que buscamos.

    A pesar de este problema, muchos historiadores griegos como Proclo e Hiparco nos proporcionan una luz de esperanza respecto al trabajo de su tiempo y de sus antecesores. Es así que la referencia más antigua nos lleva a Tales de Mileto, quien es considerado por muchos el primer matemático de quien sabemos sus aportes a esta ciencia. Por otra lado, sabemos por los papiros egipcios que antes de Tales, ya existía actividad matemática y podemos asegurar que la matemática es tan antigua como el hombre. Es decir, existieron otros personajes que hicieron matemática, pero que lamentablemente no tenemos referencia alguna como lo tenemos de Tales.

    Acerca del primer problema, los problemas más antiguos que hemos podido encontrar pertenecen a Egipto, Mesopotamia, India y China. Estos problemas nos sugieren el conocimiento de una matemática rudimentaria, válida para su tiempo, pero que no tienen el rigor y carecen de una formalización como la matemática actual.
    Los problemas están recopilados en diversos documentos como los papiros, como por ejemplo el papiro de Moscú. Por consiguiente es muy difícil darle autoría a un sólo problema respecto a su antigüedad.

    Acerca de las fórmulas, como mencioné, en diversas culturas precedentes a la griega, la matemática era muy empírica. Es recién con la evolución de la cultura griega que sistematiza los conocimientos de su tiempo y los transforma con un aporte formalista. Es entonces en esta cultura donde encontramos las “fórmulas” propiamente dichas, pues no se puede hablar de fórmulas sin una generalización, que era característica de los griegos. Un claro ejemplo lo muestra Euclides en su libro Los Elementos.
    Decidir cúal es la primera fórmula, es muy difícil.

    Espero te sirva la información y no dudes en consultar tus dudas. Escribeme en el enlace CONTACTO.

  13. #13 by lidia on November 25, 2007 - 7:49 am

    E SIDO MUY ITERESANTE TODO ESTE TEXTO.

  14. #14 by lucero on April 1, 2008 - 7:50 pm

    me parece muy bien y muy interezante que ayuden a aprender tan facil a chicos que no captan muy bien nueno pues gracias me sirvio de mucha ayuda gracias.adios

  15. #15 by kevin on April 20, 2008 - 3:03 pm

    Hermano me parece interesante tu metodo de demostrarlo te felicito soy un estudiante de saco oliveros…

  16. #16 by kevin on April 20, 2008 - 3:05 pm

    Si tienes alguna otra novedad te agradeceria bastante que me escribieras xfavor man bye xuxan_kvn93@hotmail.com

  17. #17 by Carlos on April 21, 2008 - 9:19 pm

    Hola. Gracias por dejar sus comentarios.

    A continuación mis respuestas a cada uno:
    Lidia: Gracias por tu comentario. Espero tu visita permanente.

    Lucero: Gracias, así mismo te reitero la invitación a seguir visitando esta web.

    Kevin: Bueno, esta “demostración es sencilla”, pero interesante. Respecto a las novedades. Puedes suscribirte al enlace donde se indica “Suscribirte a este blog por correo electrónico”

  18. #18 by Octavio on May 5, 2008 - 6:15 pm

    Hola carlos, yo tambiés disfruto de los enigmas de esta particular ciencia, si sabes de trucos, acertijos, juegos u otro, cvomunicate con migo.
    Kevin, te hago la misma invitación.

  19. #19 by Carlos on May 5, 2008 - 10:01 pm

    Octavio,

    La invitación está hecha.

    Saludos.

  20. #20 by nomi on May 12, 2008 - 8:37 am

    gracias por tu pagina y gracias a pitagoras!
    la mano viene asi: en tres semanas me encuentro con amigos con quienes hice mi bachillerato alla por 1969 y ……….como el lugar de encuentro es calabria, lugar en donde vivio pitagoras, se me ocurrio seria una buena idea sorprenderlos con un SKETCH( me vestire de griega helenista y una nariz de payasa)donde tratare de explicar el famoso teorema con el mar de fondo mirando a grecia…………
    por supuesto que pasare de la teoria a la practica y preparare unos que otro calculo a resolver y de premio una botella de buen tinto!

  21. #21 by sofia on August 3, 2008 - 2:50 pm

    muy inportate esta esta pagina!!

  22. #22 by LEMUS on August 19, 2008 - 9:48 pm

    HOLA , WOOOW !!!! ESTA GENIAL ESE VIDEO DE YOU TUBE , CREIA Q SABIA YA COMO EERA EL TEOREMA DE PITAGORAS , PERO CON ESE VIDEO AHORA SI LO COMPRENDI BIEN Y YA SE COMO ES JE , GRACIAS M AYUDARON MUXO:

  23. #23 by jaidy on August 21, 2008 - 1:41 pm

    hola super el video en you tube

  24. #24 by jaidy on August 21, 2008 - 1:43 pm

    supersuper genial me enseño como era el teorema pitagoras super

  25. #25 by sandra espinoza on October 2, 2008 - 3:11 pm

    jkj

  26. #26 by javiera on October 7, 2008 - 8:10 am

    tu vide0o esta mui bueno auque no te entiendo mucho = e eta bueno para los estudios i eso mejora la forma de hablar jajajajjajaja feooooo ooooooooo te voia acusar memnbrillo xD

  27. #27 by debora on October 8, 2008 - 12:02 pm

    super bueno tus
    videos kiss kiss

  28. #28 by daniela astudillo on November 12, 2008 - 2:33 pm

    supe los video lo muy buenos
    los recomiendo

    xaooooooooooooooo

    besoooosssssss

  29. #29 by yerlani on February 17, 2009 - 8:58 am

    muy bueno el video de you tube , este video me ayudo mucho por k cuando el profe explicaba no entendia nada pero al entrarme aki entendi y ahora expongo sobre el teorema de pitágora . grasia por el video de you tube .:

  30. #30 by javier on March 15, 2011 - 7:54 pm

    me agrado la manera de explicasion.

  1. ipoh2u343d
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